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博碩士論文 etd-0025119-155908 詳細資訊
Title page for etd-0025119-155908
論文名稱
Title
微積分統一教學題庫之研究:以臺灣大學微積分甲班二組試題為例
A Study of the Question Bank of the Unified Teaching of Calculus: Calculus A2 Exams at National Taiwan University
系所名稱
Department
畢業學年期
Year, semester
語文別
Language
學位類別
Degree
頁數
Number of pages
376
研究生
Author
指導教授
Advisor
召集委員
Convenor
口試委員
Advisory Committee
口試日期
Date of Exam
2019-01-17
繳交日期
Date of Submission
2019-01-25
關鍵字
Keywords
微分、積分、臺灣大學、微甲二組、向量分析、統一教學、微積分
Differentiation, Calculus A2 Exams, Integration, National Taiwan University, Unified Teaching of Calculus, Calculus, Vector Analysis
統計
Statistics
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中文摘要
本文主要針對民國 $89$ 至 $106$
學年度臺灣大學微積分甲班二組試題為例之考古題進行整理,以 Larson Edwards 2018
為架構,將內容分為十二個主題:極限及其性質、微分、微分的應用、積分、微分方程式、
積分技巧和瑕積分、積分的應用、無窮級數、向量值函數、多變數函數、多重積分、向量分析。
在十二個主題中,依序說明微積分各章節相關的定理與性質,同時整理出常見的觀念與題型,並且附上臺大微積分甲班二組的考古題加以說明。最後也統計出這段期間臺大考試出題的趨勢,和各章節的出題比例。本文收錄的範例詳盡,適合正在學習微積分或準備理工類別微積分考試的考生,也由於是臺大的考題當範例和習題,內容會稍微偏難,適合喜歡挑戰微積分中高難度題目的學習者。
Abstract
This study investigates all problems of the Calculus A2 Exams of
unified teaching of calculus at National Taiwan University from
$2000$ to $2018$. These problems according to
Larson Edwards 2018 are classified as twelve topics including:
Limits, Differentiation, Applications of Differentiation,
Integration, Differential Equations, Integration Techniques,
Applications of Integration, Infinite Series, Vector-Valued
Function, Functions of Several Variables, Multiple Integration and
Vector Analysis. Each topics begins with the important definitions,
theorems and properties for problem solving, followed by several
related examples chosen to illustrate the applications of theorems
and properties. Finally, the statistics of the all questions classified by year and
topics is included.The detailed solutions of examples are good for science and
engineering students who are studying calculus or preparing for the
calculus test. It is also good for learners who like to challenge
difficult calculus problems.
目次 Table of Contents
論文審定書 i
誌謝 ii
摘要 iii
Abstract iv
圖次 xv
表次 xvi
第一章 前言 1
第二章 極限及其性質 6
2.1 極限的基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 單側極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 極限不存在的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 以解析的方法處理極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 極限的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 求極限的策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 約分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 有理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.5 夾擠定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.6 特殊的三角函數極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.7 羅畢達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.8 黎曼和與定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 在一點和在一開區間上的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 閉區間的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 連續的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 中間值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 在無窮遠處的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 在無窮遠處的無窮大極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
第三章 微分 30
3.1 導數和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 切線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3 可微與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 基本微分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 常數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 乘積規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.4 和差規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 正弦和餘弦函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 積和商的規則及高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 積的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 商的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 廣義指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.3 三角函數的連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 超越函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 自然對數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 自然指數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 反三角函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.3 反三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 微積分第二基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8.1 隱函數和顯函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8.2 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.1 求相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.2 以相關變率解題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
第四章 微分的應用 53
4.1 區間上的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.1 函數的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2 相對極值和臨界點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.3 在閉區間上求極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 洛爾定理和均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1 洛爾定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 函數的遞增、遞減和一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 遞增函數和遞減函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2 一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 凹性和二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.1 凹性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.2 反曲點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.3 二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.1 垂直漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.2 水平漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.3 斜漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 畫圖提要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.1 分析函數圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 最佳化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7.1 極大極小的應用問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.8 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.8.1 切線近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
第五章 積分 78
5.1 反導函數和不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 反導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.2 反導函數的記號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.3 基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.1 sigma 符號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 黎曼和與定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.1 上和與下和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.2 黎曼和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.3 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.4 定積分的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.1 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.2 積分的均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4.3 函數的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4.4 微積分第二基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4.5 偶函數和奇函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.5 數值積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.5.1 梯形法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.2 辛普森法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.6 自然對數函數:積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6.1 積分的對數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6.2 三角函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.3 指數函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.4 反三角函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.5 反三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.6 複習基本微分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7 反三角函數:積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7.1 涉及以反三角函數為反微分的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7.2 複習基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.7.3 雙曲函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.7.4 雙曲函數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7.5 反雙曲函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7.6 反雙曲函數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
第六章 微分方程式 99
6.1 分離變數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 一階線性微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第七章 積分技巧和瑕積分 104
7.1 基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 整理被積分函數以適用基本規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 變數代換法求不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.1 變數代換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 分部積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1 分部積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4 三角函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4.1 含正、餘弦冪次的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4.2 含正割、正切冪次的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.3 涉及不同角度的正餘弦乘積的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5 三角代換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5.1 三角代換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.6 部分分式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6.1 部分分式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6.2 正、餘弦合成的有理函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.7 不定型和羅畢達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7.1 不定型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7.2 羅畢達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.8 瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.8.1 上(下)限是無窮大的瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.8.2 函數有無窮大極限的瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
第八章 積分的應用 132
8.1 兩曲線之間區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1.1 兩曲線之間區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 旋轉體體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.2.1 圓盤法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.2.2 圓柱殼法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.3 已知橫截面的立體體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.4 圓盤法和圓柱殼法的比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3 弧長和旋轉面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3.1 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3.2 旋轉面表面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4 質矩、質心和形心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4.1 質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4.2 一維系統的質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4.3 二維系統的質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4.4 薄膜的質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4.5 帕普斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
第九章 無窮級數 152
9.1 數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.1.1 數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.1.2 數列的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.1.3 察覺數列的規律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.1.4 單調數列和有界數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.2 級數和收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.2.1 無窮級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.2.2 幾何級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2.3 利用一般項檢驗發散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3 積分檢定和 p 級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3.1 積分檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3.2 p-級數與調和級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 級數的比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.4.1 (直接)互比檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.4.2 極限互比檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.5 交錯級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.5.1 交錯級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.5.2 交錯級數的餘項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.5.3 絕對和條件收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.6 比例與根式檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.6.1 比例檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.6.2 根式檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.7 泰勒多項式和近似值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.7.1 基本函數的多項式近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.7.2 泰勒和馬克勞林多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.7.3 泰勒多項式的餘項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.8 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.8.1 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.8.2 收斂半徑和收斂區間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.8.3 在端點的歛散性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.8.4 冪級數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.9 以冪級數表示函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.9.1 幾何冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.9.2 冪級數的運算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.10 泰勒和馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.10.1 泰勒和馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.10.2 二項級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.10.3 基本泰勒級數表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
第十章 向量值函數 182
10.1 參數方程式和微積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.1.1 斜率和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.1.2 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.1.3 旋轉體表面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.2 極座標與極座標圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.2.1 極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.2.2 座標轉換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.2.3 斜率和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3 極座標的面積和弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.3.1 極座標區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.3.2 極座標的弧長形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3.3 旋轉曲面的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.4 空間中的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.4.1 柱面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.4.2 二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.4.3 旋轉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5 柱座標和球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5.1 柱座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5.2 球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.6 向量值函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.6.1 空間曲線和向量值函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.6.2 極限與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.7 向量值函數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.7.1 向量值函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.8 速度和加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.8.1 速度和加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.8.2 拋體運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.9 切線向量和法向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.9.1 切線向量和法向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.9.2 加速的切線向量和法向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.10空間中弧長及弧度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.10.1空間中弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.10.2弧長的參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.10.3曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.10.4應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
第十一章多變數函數 206
11.1 多變數函數導論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1.1 多變數函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1.2 兩變數函數的圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.1.3 等高線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.1.4 等位面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.2 極限與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.2.1 兩變數函數的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.2.2 兩變數函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.2.3 三變數函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.3 偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.3.1 兩變數函數的偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.3.2 三個或三個以上變數函數的偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.3.3 高階偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.4 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.4.1 增量與微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.4.2 可微分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.4.3 以微分求近似值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.5 多變數函數的連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.5.1 多變數函數的連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.5.2 隱(偏)微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.6 方向導數和梯度向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.6.1 方向導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.6.2 兩變數函數的梯度向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.6.3 梯度向量的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.6.4 三個變數的函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.7 切平面和法線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.7.1 曲面的切平面和法線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.7.2 平面傾斜的角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.7.3 梯度向量 ∇f(x, y) 和 ∇F(x, y, z) 的比較 . . . . . . . . . . . . 226
11.8 兩變數函數的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.8.1 絕對和相對極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.8.2 二階偏導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11.9 兩變數函數極值的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.9.1 最佳化問題的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.9.2 最小平方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.10拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.10.1拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.10.2雙重限制條件下的拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
第十二章多重積分 236
12.1 逐次積分和平面上的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.1.1 逐次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.1.2 平面上區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.2 二重積分和體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.2.1 二重積分和立體的體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.2.2 二重積分的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.2.3 計算二重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.2.4 函數的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.3 積分變數變換:極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.3.1 在極座標系中計算二重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.4 質心和慣性矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.4.1 質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.4.2 質矩和質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
12.4.3 慣性矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.5 曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.5.1 曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.6 三重積分與應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.6.1 三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.7 圓柱和球面座標的三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.7.1 圓柱座標的三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.7.2 球面座標的三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.7.3 空間中質心和慣性矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.8 變數變換:雅可比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12.8.1 雅可比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12.8.2 二重積分的變數變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
第十三章向量分析 261
13.1 向量場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.1.1 向量場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.1.2 保守向量場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
13.1.3 向量場上的旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
13.1.4 向量場上的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
13.2 線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.2.1 線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.2.2 向量場上的線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.3 保守向量場與路徑無關 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13.3.1 線積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13.3.2 與路徑無關 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
13.4 格林定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.4.1 格林定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
13.4.2 格林定理其他形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
13.5 參數曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.5.1 參數曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.5.2 曲面的參數方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.5.3 法向量和切平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.5.4 參數曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.6 曲面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.6.1 曲面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.6.2 參數曲面和曲面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.6.3 通量積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.7 散度定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.7.1 散度定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.8 斯托克斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.8.1 斯托克斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
第十四章 各章分析及輔助教學心得 297
14.1 極限及其性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.2 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.3 微分的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.4 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.5 微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.6 積分技巧和瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.7 積分的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.8 無窮級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.9 向量值函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.10多變數函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.11多重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.12向量分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
參考文獻 302
索引 303
參考文獻 References
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民國 $89$-$106$ 學年度微甲二組考古題。
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/a/?page_id=7

何靜怡 (2017)。微積分統一教學題庫之研究:以台灣大學微積分(上)期中試題為例。
台灣高雄市國立中山大學碩士論文。

黃傳鈞 (2017)。微積分統一教學題庫之研究:以台灣大學微積分(上)期末試題為例。
台灣高雄市國立中山大學碩士論文。

黃玉玲 (2017)。微積分統一教學題庫之研究:以台灣大學微積分(下)期中試題為例。
台灣高雄市國立中山大學碩士論文。

劉丞罡 (2017)。微積分統一教學題庫之研究:
以台灣大學微積分甲班一組試題為例。
台灣高雄市國立中山大學碩士論文。
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