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論文名稱 Title |
微積分統一教學題庫之研究:以臺灣大學微積分甲班二組試題為例 A Study of the Question Bank of the Unified Teaching of Calculus: Calculus A2 Exams at National Taiwan University |
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系所名稱 Department |
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畢業學年期 Year, semester |
語文別 Language |
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學位類別 Degree |
頁數 Number of pages |
376 |
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研究生 Author |
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指導教授 Advisor |
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召集委員 Convenor |
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口試委員 Advisory Committee |
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口試日期 Date of Exam |
2019-01-17 |
繳交日期 Date of Submission |
2019-01-25 |
關鍵字 Keywords |
微分、積分、臺灣大學、微甲二組、向量分析、統一教學、微積分 Differentiation, Calculus A2 Exams, Integration, National Taiwan University, Unified Teaching of Calculus, Calculus, Vector Analysis |
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統計 Statistics |
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中文摘要 |
本文主要針對民國 $89$ 至 $106$ 學年度臺灣大學微積分甲班二組試題為例之考古題進行整理,以 Larson Edwards 2018 為架構,將內容分為十二個主題:極限及其性質、微分、微分的應用、積分、微分方程式、 積分技巧和瑕積分、積分的應用、無窮級數、向量值函數、多變數函數、多重積分、向量分析。 在十二個主題中,依序說明微積分各章節相關的定理與性質,同時整理出常見的觀念與題型,並且附上臺大微積分甲班二組的考古題加以說明。最後也統計出這段期間臺大考試出題的趨勢,和各章節的出題比例。本文收錄的範例詳盡,適合正在學習微積分或準備理工類別微積分考試的考生,也由於是臺大的考題當範例和習題,內容會稍微偏難,適合喜歡挑戰微積分中高難度題目的學習者。 |
Abstract |
This study investigates all problems of the Calculus A2 Exams of unified teaching of calculus at National Taiwan University from $2000$ to $2018$. These problems according to Larson Edwards 2018 are classified as twelve topics including: Limits, Differentiation, Applications of Differentiation, Integration, Differential Equations, Integration Techniques, Applications of Integration, Infinite Series, Vector-Valued Function, Functions of Several Variables, Multiple Integration and Vector Analysis. Each topics begins with the important definitions, theorems and properties for problem solving, followed by several related examples chosen to illustrate the applications of theorems and properties. Finally, the statistics of the all questions classified by year and topics is included.The detailed solutions of examples are good for science and engineering students who are studying calculus or preparing for the calculus test. It is also good for learners who like to challenge difficult calculus problems. |
目次 Table of Contents |
論文審定書 i 誌謝 ii 摘要 iii Abstract iv 圖次 xv 表次 xvi 第一章 前言 1 第二章 極限及其性質 6 2.1 極限的基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 單側極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.3 極限不存在的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 以解析的方法處理極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 極限的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 求極限的策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3 約分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.4 有理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.5 夾擠定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.6 特殊的三角函數極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.7 羅畢達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.8 黎曼和與定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 在一點和在一開區間上的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 閉區間的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3 連續的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4 中間值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 在無窮遠處的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.3 在無窮遠處的無窮大極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 第三章 微分 30 3.1 導數和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 切線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.3 可微與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 基本微分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1 常數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.3 乘積規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.4 和差規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.5 正弦和餘弦函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 積和商的規則及高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 積的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.2 商的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.3 三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.4 高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.2 廣義指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.3 三角函數的連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 超越函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5.1 自然對數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5.2 自然指數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6.1 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6.2 反三角函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.3 反三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7.1 微積分第二基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.8 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8.1 隱函數和顯函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8.2 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.9 相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.9.1 求相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.9.2 以相關變率解題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 第四章 微分的應用 53 4.1 區間上的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.1 函數的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.2 相對極值和臨界點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.3 在閉區間上求極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 洛爾定理和均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1 洛爾定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.2 均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 函數的遞增、遞減和一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 遞增函數和遞減函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.2 一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 凹性和二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.1 凹性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.2 反曲點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.3 二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.5 漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.5.1 垂直漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.5.2 水平漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.3 斜漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.6 畫圖提要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.6.1 分析函數圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.7 最佳化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.7.1 極大極小的應用問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.8 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.8.1 切線近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 第五章 積分 78 5.1 反導函數和不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.1 反導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.2 反導函數的記號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.3 基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2.1 sigma 符號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3 黎曼和與定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3.1 上和與下和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3.2 黎曼和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.3 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3.4 定積分的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4.1 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4.2 積分的均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4.3 函數的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4.4 微積分第二基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4.5 偶函數和奇函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.5 數值積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.5.1 梯形法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5.2 辛普森法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.6 自然對數函數:積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.6.1 積分的對數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.6.2 三角函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.6.3 指數函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.6.4 反三角函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.6.5 反三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.6.6 複習基本微分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.7 反三角函數:積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.7.1 涉及以反三角函數為反微分的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.7.2 複習基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.7.3 雙曲函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.7.4 雙曲函數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.7.5 反雙曲函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.7.6 反雙曲函數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 第六章 微分方程式 99 6.1 分離變數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2 一階線性微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 第七章 積分技巧和瑕積分 104 7.1 基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1.1 整理被積分函數以適用基本規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2 變數代換法求不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2.1 變數代換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.3 分部積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.3.1 分部積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4 三角函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.4.1 含正、餘弦冪次的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.4.2 含正割、正切冪次的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.4.3 涉及不同角度的正餘弦乘積的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.5 三角代換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.5.1 三角代換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.6 部分分式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.6.1 部分分式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.6.2 正、餘弦合成的有理函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.7 不定型和羅畢達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.7.1 不定型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.7.2 羅畢達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.8 瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.8.1 上(下)限是無窮大的瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.8.2 函數有無窮大極限的瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 第八章 積分的應用 132 8.1 兩曲線之間區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1.1 兩曲線之間區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.2 旋轉體體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.2.1 圓盤法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.2.2 圓柱殼法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.2.3 已知橫截面的立體體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.2.4 圓盤法和圓柱殼法的比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.3 弧長和旋轉面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.3.1 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.3.2 旋轉面表面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.4 質矩、質心和形心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4.1 質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4.2 一維系統的質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.4.3 二維系統的質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.4.4 薄膜的質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.4.5 帕普斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 第九章 無窮級數 152 9.1 數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1.1 數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1.2 數列的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1.3 察覺數列的規律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.1.4 單調數列和有界數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.2 級數和收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.2.1 無窮級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.2.2 幾何級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.2.3 利用一般項檢驗發散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.3 積分檢定和 p 級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.3.1 積分檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.3.2 p-級數與調和級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.4 級數的比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.4.1 (直接)互比檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.4.2 極限互比檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.5 交錯級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.5.1 交錯級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.5.2 交錯級數的餘項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.5.3 絕對和條件收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.6 比例與根式檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.6.1 比例檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.6.2 根式檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.7 泰勒多項式和近似值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.7.1 基本函數的多項式近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.7.2 泰勒和馬克勞林多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.7.3 泰勒多項式的餘項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.8 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.8.1 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.8.2 收斂半徑和收斂區間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.8.3 在端點的歛散性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9.8.4 冪級數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 9.9 以冪級數表示函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.9.1 幾何冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.9.2 冪級數的運算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.10 泰勒和馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.10.1 泰勒和馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.10.2 二項級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.10.3 基本泰勒級數表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 第十章 向量值函數 182 10.1 參數方程式和微積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.1.1 斜率和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.1.2 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.1.3 旋轉體表面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.2 極座標與極座標圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.2.1 極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.2.2 座標轉換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.2.3 斜率和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.3 極座標的面積和弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.3.1 極座標區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.3.2 極座標的弧長形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.3 旋轉曲面的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.4 空間中的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4.1 柱面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4.2 二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4.3 旋轉曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.5 柱座標和球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.5.1 柱座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.5.2 球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.6 向量值函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.6.1 空間曲線和向量值函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.6.2 極限與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10.7 向量值函數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10.7.1 向量值函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.8 速度和加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.8.1 速度和加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.8.2 拋體運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.9 切線向量和法向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.9.1 切線向量和法向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.9.2 加速的切線向量和法向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10.10空間中弧長及弧度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10.10.1空間中弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 10.10.2弧長的參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.10.3曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.10.4應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 第十一章多變數函數 206 11.1 多變數函數導論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.1.1 多變數函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.1.2 兩變數函數的圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.1.3 等高線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.1.4 等位面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.2 極限與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.2.1 兩變數函數的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.2.2 兩變數函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.2.3 三變數函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.3 偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.3.1 兩變數函數的偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.3.2 三個或三個以上變數函數的偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.3.3 高階偏導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.4 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.4.1 增量與微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.4.2 可微分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.4.3 以微分求近似值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.5 多變數函數的連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.5.1 多變數函數的連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.5.2 隱(偏)微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.6 方向導數和梯度向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.6.1 方向導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.6.2 兩變數函數的梯度向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11.6.3 梯度向量的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.6.4 三個變數的函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 11.7 切平面和法線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.7.1 曲面的切平面和法線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.7.2 平面傾斜的角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.7.3 梯度向量 ∇f(x, y) 和 ∇F(x, y, z) 的比較 . . . . . . . . . . . . 226 11.8 兩變數函數的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.8.1 絕對和相對極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.8.2 二階偏導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 11.9 兩變數函數極值的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.9.1 最佳化問題的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.9.2 最小平方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.10拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 11.10.1拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 11.10.2雙重限制條件下的拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 第十二章多重積分 236 12.1 逐次積分和平面上的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.1.1 逐次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.1.2 平面上區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.2 二重積分和體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.2.1 二重積分和立體的體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.2.2 二重積分的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 12.2.3 計算二重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 12.2.4 函數的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 12.3 積分變數變換:極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 12.3.1 在極座標系中計算二重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 12.4 質心和慣性矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.4.1 質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.4.2 質矩和質心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 12.4.3 慣性矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.5 曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.5.1 曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 12.6 三重積分與應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 12.6.1 三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 12.7 圓柱和球面座標的三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.7.1 圓柱座標的三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.7.2 球面座標的三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.7.3 空間中質心和慣性矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 12.8 變數變換:雅可比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.8.1 雅可比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.8.2 二重積分的變數變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 第十三章向量分析 261 13.1 向量場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 13.1.1 向量場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 13.1.2 保守向量場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 13.1.3 向量場上的旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 13.1.4 向量場上的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 13.2 線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13.2.1 線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13.2.2 向量場上的線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13.3 保守向量場與路徑無關 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 13.3.1 線積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 13.3.2 與路徑無關 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 13.4 格林定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 13.4.1 格林定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 13.4.2 格林定理其他形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 13.5 參數曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 13.5.1 參數曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 13.5.2 曲面的參數方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 13.5.3 法向量和切平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 13.5.4 參數曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 13.6 曲面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 13.6.1 曲面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 13.6.2 參數曲面和曲面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 13.6.3 通量積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 13.7 散度定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 13.7.1 散度定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 13.8 斯托克斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 13.8.1 斯托克斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 第十四章 各章分析及輔助教學心得 297 14.1 極限及其性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 14.2 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 14.3 微分的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 14.4 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 14.5 微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 14.6 積分技巧和瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 14.7 積分的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 14.8 無窮級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 14.9 向量值函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 14.10多變數函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 14.11多重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 14.12向量分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 參考文獻 302 索引 303 |
參考文獻 References |
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