本文針對2000 至2015 年的AMC 10 數學競賽題目進行分類，整理成十個基本的數學主題。這些主題除了介紹在試題中有出現過名詞的定義之外，更針對與其相關的定理與性質進行證明，並新增許多在AMC 10 中沒有提及的觀念、公式等，最後選擇一些比較有難度且較需深入思考的題目供讀者練習。
本文中提及的定理、性質以及公式，依序章節分別有：算術與數論，包括距離、時間與速度關係、同餘性質、鴿籠原理等；數與坐標系，包括距離公式、向量、平移與旋轉等；多項式函數，包括除法原理、餘式定理、勘根定理；指數與對數，包括指數律、對數律等；數列級數，包括數列與級數、夾擠定理、數學歸納法等；計數，包括狄摩根法則、排列、組合、二項式定理、排容原理等；機率與統計，包括古典機率、條件機率、幾何機率、敘述統計量等；三角函數，包括正餘弦定理、和差角公式、複數極式等；平面幾何，包括三角不等式、三心性質、畢式定理、圓冪定理等；立體幾何，包括尤拉公式、體積公式等。

This study investigates the art of solving problems in American Mathematics
Competition 10 (AMC 10) from year 2000 to 2015. These exam problems are classified as 10 basic mathematical topics. Each topics begins with a discussing of the mathematical definitions, theorems and properties needed for problem solving,
followed by several examples chosen to illustrate the range of topics and difficulty.
The topics includes Arithmetic and Number Theory: relationship between distance, time and speed,
and modular arithmetic; Number and Coordinate Systems: formula of division point, and vector;
Polynomials and Functions: remainder theorem, and Bolzano’s theorem; Exponential and Logarithmic: law of exponential and law of logarithmic;
Sequences and Series: arithmetic, geometric sequence with other commonly used sequences;
Counting: De Morgan’s laws, permutations and combinations,and binomial theorem; Probability and Statistics: classical probability, geometric probability, conditional probability, and descriptive statistics; Trigonometric Functions: law of sines and cosine, double angle formula;
Plane Geometry: property of triangle, Pythagorean theorem, and circle power theorem; Solid Geometry: Euler’s formula of polyhedron and the volume of the sphere.

論文審定書i
致謝ii
摘要iii
Abstract iv
表次vi
圖次vii
第一章前言1
第二章算術與數論4
2.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 算術之定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 比例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 距離、時間、速率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 數論之定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 有理數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 實數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 因數、倍數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 質數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.5 同餘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.6 鴿籠原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.7 進位制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
第三章數與坐標系23
3.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 數與數線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 平面坐標系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 平面向量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4 空間坐標系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.5 向量內積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.6 向量外積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.7 圖形的平移與旋轉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
第四章多項式函數34
4.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 多項式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.3 餘式定理、因式定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.4 複數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.5 代數基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.6 有理根檢驗法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.7 虛數根成對定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.8 勘根定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.9 不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.10 算數、幾何、調和平均不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.11 柯西不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.12 排序不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
第五章指數與對數63
5.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.1 指數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.2 對數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.3 指數與對數的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
第六章數列級數73
6.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.1 數列與級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.2 等差、等比數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.3 數列的極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.4 夾擠定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.5 雜級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.6 遞迴數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2.7 數學歸納法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
第七章計數88
7.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1 邏輯、集合與計數原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.2 加法、乘法原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2.3 排容原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.4 排列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.5 組合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.6 二項式定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
第八章機率與統計105
8.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.1 樣本空間與事件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.2 機率公設. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.3 幾何機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.4 排容原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2.5 條件機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2.6 全機率定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.7 貝氏定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.8 敘述統計量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
第九章三角函數123
9.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.1 角度與弧度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.2 三角函數的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2.3 三角函數的關係. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2.4 廣義角. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2.5 三角函數的圖形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2.6 三角函數的負角、餘角、補角關係. . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2.7 和差角公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2.8 正弦定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.2.9 餘弦定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2.10 正餘弦函數的疊合公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2.11 複數的極式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2.12 棣美弗定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2.13 複數的n 次方根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
第十章平面幾何147
10.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.2.1 三角形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.2.2 圓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.2.3 多邊形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.4 圓錐曲線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
第十一章立體幾何181
11.1 介紹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.2 定義、定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.2.1 尤拉公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.2.2 四面體. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.2.3 五面體. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.2.4 柱體. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.2.5 圓柱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.2.6 球. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.3 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
參考文獻191
索引192

American Mathematics Competitions. In Wikipedia. Retrieved May 15, 2015, from
http://en.wikipedia.org/wiki/American_Mathematics_Competitions

American Mathematics Contest 10/12 (2015). Washington, DC: The Mathematical Association of America.
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Art of Problem Solving (2015). ”AMC 10 Problems and Solutions” From AoPS Incorporated.
http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AMC_10_Problems_and_Solutions

黃昱祺(2013)。美國高中數學測驗AMC 12 之基本數學主題，台灣高雄市國立中山大學碩士論文。

財團法人九九文教基金會(2015)。
http://www.99cef.org.tw/