本文針對 2008 至 2015 年的高中職數學科教師甄試考題中針對「微積分」的題型進
行分類，整理成九個微積分的主題：極限、微分、微分的應用、積分、積分的應用、積分技巧、無窮級數、參數方程式和特殊極座標的微積分、多重積分。這些主題除了介紹在試題中有出現過名詞的定義之外，更針對與其相關的定理與性質進行證明，並新增許多在教師甄試考題中沒有提及的觀念、公式等，最後選擇一些比較有難度且較需深入思考的題目供讀者練習。

This study investigates selected calculus problems of high school mathematics teacher recruitment exam in Taiwan from 2008 to 2015. These problems are classified as nine topics including: Limits, Differentiation, Applications of Differentiation, Integration, Applications of Integration, Integration Techniques, Infinite Series, Parametric Equations and Calculus of Parametric Equations and Special Coordinate Systems, Multiple Integration. Each topics begins with the important definitions and theorems for problem solving, followed by several examples chosen to illustrate the applications of theorems and the range of topics and difficulty.

目錄
論 文 審 定 書 i
誌 謝 ii
摘 要 iii
Abstract iv
圖 次 xi
第 一 章 前 言 1
第 二 章 極 限 3
2.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 極限不存在的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 以解析的方法處理極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 極限的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 求極限的策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 約分和有理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 連續和單側極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 在一點和在一開區間上的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 單側極限與閉區間的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 連續的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 鉛直漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第 三 章 微 分 22
3.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 導數和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 切線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 可微與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 基本微分規則及變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 常數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 倍數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.4 和差規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.5 正弦和餘弦函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 積和商的規則和高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 積的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 商的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3 三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.2 廣義指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.3 三角函數的連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.1 隱函數和顯函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.1 求相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.2 以相關變率解題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第 四 章 微 分 的 應 用 37
4.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 區間上的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 函數的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 相對極值和臨界數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 在閉區間上求極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 洛爾定理和均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 洛爾定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 函數的遞增、遞減和一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1 遞增函數和遞減函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.2 一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 凹性和二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5.1 凹性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5.2 反曲點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5.3 二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 在無窮遠處的檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6.1 在無窮遠處的檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6.2 水平漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6.3 在無窮遠處的無窮大極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 畫圖提要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7.1 分析函數圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8 最佳化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8.1 極大極小的應用問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9 牛頓法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9.1 牛頓法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.10.1 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
第 五 章 積 分 59
5.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 反導數和不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1 反導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2 反導函數的記號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.3 基本積分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.4 初始條件和特解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.1 ∑ 符號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.3 上和與下和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 黎曼和與定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.1 黎曼和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.2 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.3 定積分的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.1 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.2 積分的均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.3 函數的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.4 微積分基本定理第二式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.5 總變化量定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 變數代換法求不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.1 察覺樣式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.2 變數變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.3 積分的廣義指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.4 變數變換求定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.5 偶函數和奇函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7 數值積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.1 梯形法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.2 辛普森法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.7.3 誤差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
第 六 章 積 分 的 應 用 84
6.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 兩曲線之間區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 兩曲線之間區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 旋轉體體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.1 圓盤法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.2 墊圈法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.3 已知橫截面的立體體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.4 圓柱殼法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 弧長和旋轉面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.2 旋轉面的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 帕普斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
第 七 章 積 分 技 巧 巧 、羅 羅 必 達 法 則 和 瑕 積 分 93
7.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2 基本積分法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.1 整理被積分函數以適用基本規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 分部積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3.1 分部積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 三角函數的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4.1 含正、餘弦冪次的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4.2 含正割、正切冪次的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4.3 涉及不同角度的正餘弦乘積的積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 三角代換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5.1 三角代換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.6 部分分式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.6.1 部分分式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.7 使用其他積分表和其他方法求積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.7.1 正、餘弦合成的有理函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.8 不定型和羅必達法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.8.1 不定型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.8.2 羅必達法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.9 瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.9.1 上（下）限是無窮大的瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.9.2 函數有無窮大極限的瑕積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
第 八 章 無 窮 級 數 112
8.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2 級數和收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.1 無窮級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.2 幾何級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2.3 利用一般項檢驗發散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3 泰勒多項式和近似值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3.1 泰勒和馬克勞林多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3.2 泰勒多項式的餘項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.4.1 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4.2 收斂半徑和收斂區間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4.3 冪級數的微分和積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4.4 冪級數的運算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5 泰勒和馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5.1 泰勒和馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
第 九 章 參 數 方 程 式 和 特 殊 極 座 標 的 微 積 分 123
9.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2 參數方程式和微積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.1 斜率和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.2 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2.3 旋轉體表面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3 極座標與極座標圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3.1 座標轉換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3.2 斜率和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.4 極座標的面積和弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4.1 極座標區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4.2 極座標的弧長形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.4.3 旋轉曲面的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5 空間中的曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5.1 柱面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5.2 二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5.3 旋轉面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.6 柱座標和球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.6.1 柱座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.6.2 球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.7 弧長及弧度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.7.1 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.7.2 弧長的參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
第 十 章 多 重 積 分 135
10.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2 逐次積分和平面上的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.2.1 逐次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.2.2 平面上區域的面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.3 二重積分和體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.3.1 二重積分和立體的體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.3.2 二重積分的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3.3 計算二重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3.4 函數的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.4 積分變數變換：極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.4.1 在極座標系中計算二重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.5 曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.5.1 曲面面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.6 三重積分與應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.6.1 三重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
參 考 文 獻 145
索 引 146

Larson, Ron and Edwards, Bruce H. (2013). Calculus, 10th Edition. New York:
Brooks Cole.

Math Pro 數學補給站 (2016)，高中的數學。
http://math.pro/db/forum-7-1.html

寸絲 (2014)，民國 97-103 年台灣高中職數學科教甄試題整理，方寸之地。
https://dl.dropbox.com/s/uo8jwy456k94qj1/Math Note 14-17 by%
20tsusy.pdf

美夢成真教甄討論區 (2016)，歷屆高中職教師甄選考古題專區。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewforum.php?f=17&sid=
20d0a2f708569b35f46300ea77db74cb