本文是先介紹集合論與計數工具的基本原理，而這些原理對於計算機率是非常有用的。然後，列出一些從機率公設衍生出的重要性質。條件機率不只在部分資訊已知時發揮效用，而且即使在資訊未知時，也成為一工具方便於去計算機率。然後，介紹隨機變數的觀念還有一些關於它的性質。考慮單一隨機變數之下，會介紹一些來自於常見的離散型或連續型分布之基本性質。對於聯合的隨機變數的重要性質也會介紹。接著，討論的是一些不等式、大數法則還有中央極限定理。最後，介紹卜瓦松過程。

In this paper, we first present the basic principles of set theory and combinatorial analysis which are the most useful tools in computing probabilities. Then, we show some important properties derived from axioms of probability. Conditional probabilities come into play not only when some partial information is available, but also as a tool to compute probabilities more easily, even when partial information is unavailable. Then, the concept of random variable and its some related properties are introduced. For univariate random variables, we introduce the basic properties of some common discrete and continuous distributions. The important properties of jointly distributed random variables are also considered. Some inequalities, the law of large numbers and the central limit theorem are discussed. Finally, we introduce additional topics the Poisson process.

表目錄 vi
圖目錄 vii
中文摘要 ix
Abstract x
第一章集合論 1
1.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 集合論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 集合、元素及子集合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 文氏圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 集合運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 有限集合大小. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
第二章計數工具 14
2.1 基本的計數法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 加法原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 乘法原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 樹狀圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 排容原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 階乘函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 排列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 不盡相異物排列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 重複排列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 限制排列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 組合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 分組(堆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 重複組合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 二項式定理、多項式定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.4 排列組合總整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 常見計數方法總整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
第三章機率 39
3.1 樣本空間與事件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 古典機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 有限樣本空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 無限樣本空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 機率公設. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 機率性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 集合與機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
第四章條件機率 51
4.1 條件機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 全機率定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 貝氏定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 獨立事件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 條件機率是機率函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
4.6 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
第五章隨機變數 62
5.1 隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.1 機率質量函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.2 機率密度函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.3 累積分布函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 隨機變數的函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 期望值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 變異數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.3 動差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.4 動差生成函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.5 階乘動差生成函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.6 特徵函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 單一隨機變數函數之機率密度函數. . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
5.3.1 分布函數法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 變數轉換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.3 動差生成函數法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
第六章離散隨機變數 92
6.1 柏努利分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 二項分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 卜瓦松分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 幾何分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5 負二項分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.6 超幾何分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.7 離散均勻分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112
6.8 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
第七章連續型隨機變數 117
7.1 均勻分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 常態分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.1 常態分布近似二項分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.2 標準常態分布的臨界值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.3 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 指數分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3.2 故障函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 伽瑪分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.5 韋伯分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 柯西分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.6.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.7 貝他分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.7.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.8 卡方分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.8.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.8.2 卡方分布的臨界值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.9 對數常態分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
7.9.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.10 t 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.10.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.10.2 t 分布的臨界值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.11 F 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.11.1 相關的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.11.2 F 分布的臨界值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.12 連續分布之間的轉換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
7.13 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
第八章多變量分布 163
8.1 多變量隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.1.1 聯合機率質量函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.1.2 聯合機率密度函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.1.3 邊際分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.4 條件分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.1.5 聯合累積分布函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2 多變量隨機變數函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.2.1 邊際動差與聯合動差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.2.2 聯合動差生成函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2.3 聯合特徵函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 獨立隨機變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 共變異數、和的變異數與相關係數. . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.5 獨立隨機變數和的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.5.1 分布函數法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.5.2 動差生成函數法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.6 多變數隨機變數函數之機率密度函數. . . . . . . . . . . . . 199
8.6.1 變數轉換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.7 順序統計量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.8 多變量的重要分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.8.1 多項分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.8.2 二變量與多變量常態分布. . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.9 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
第九章期望值的性質 233
9.1 多個隨機變數函數的期望值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2 發生的事件數的動差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
9.3 條件期望值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.3.1 利用條件期望值求期望值. . . . . . . . . . . . . . . 238
9.3.2 利用條件期望值求機率. . . . . . . . . . . . . . . . .239
9.4 條件變異數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.5 常態分布之樣本平均與樣本變異數的聯合分布. . . . . . . . .243
9.6 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
第十章極限定理 249
10.1 柴比雪夫不等式和弱大數法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.2 中央極限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.3 其它收斂型態與強大數法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.4 其它不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.5 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
第十一章卜瓦松過程 270
11.1 隨機過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.2 計數過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.3 卜瓦松過程的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.4 間隔與等待時間的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
11.5 重點整理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
參考文獻 279
索引 279

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