本文主要探討使用Mathematica 9.0 在統計模擬中如何生成隨機變數及變異數縮減。內容分為蒙地卡羅積分的原理、隨機變數的生成（逆變換法、棄卻法、別名法、合成法、極座標法）。接續介紹波松過程（齊次、非齊次）、生成資料的統計分析、如何做變異數縮減（對立變數法、控制變數法、條件變異數法、分層抽樣法、重要抽樣法）。

In this paper, we investigate the generating random variates and variance reduction
in statistical simulation using Mathematica 9.0. Topics include Monte
Carlo integration, generation of random variables (inverse transform method, the
acceptance-rejection technique, the alias method, the composition approach and
the polar method); Poisson process (homogeneous, nonhomogeneous) and statistical
analysis of simulation data. The techniques of variance reduction includes antithetic
variables method, control variate method, variance reduction by conditioning,
stratified sampling and importance sampling.

第一章介紹
第二章蒙地卡羅積分
2.1 隨機數生成指令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 蒙地卡羅法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第三章離散型變數的生成
3.1 逆變換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 離散型均勻分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 幾何分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3 柏努利分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.4 二項分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.5 波松分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 棄卻法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 合成法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 別名法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第四章連續型變數的生成
4.1 逆變換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 指數分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 伽瑪分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 棄卻法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 常態分佈的極座標法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
第五章波松過程與排隊理論
5.1 隨機過程的生成. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 齊次波松過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 非齊次波松過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 排隊模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
第六章模擬資料的分析
6.1 樣本平均數及樣本變異數的遞迴關係. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 母體平均數的信賴區間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 拔靴法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
第七章變異數縮減技巧
7.1 蒙地卡羅積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 對立變數法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 控制變數法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4 條件變異數縮減法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5 分層抽樣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.6 重要性抽樣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
參考文獻
A Mathematica指令
A.1 統計模擬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.1.1 隨機生成函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.1.2 隨機過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2 機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2.1 敘述統計量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2.2 內建統計分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2.3 自建統計分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2.4 隨機變數應用指令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.3 代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.4 一般常用指令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.4.1 陣列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.4.2 函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.4.3 繪圖及格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .144

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http://www.r-project.org
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http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ProbabilityDistribution.html?q=ProbabilityDistribution&lang=en
Parametric Statistical Distributions:
http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/ParametricStatisticalDistributions.html
QueueProperties:
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/QueueProperties.html
RandomProcess:
http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/RandomProcesses.html