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博碩士論文 etd-0611113-120332 詳細資訊
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論文名稱
Title
美國高中數學測驗 AMC 12 之基本數學主題
Basic Mathematical Topics of American Mathematics Competition 12
系所名稱
Department
畢業學年期
Year, semester
語文別
Language
學位類別
Degree
頁數
Number of pages
197
研究生
Author
指導教授
Advisor
召集委員
Convenor
口試委員
Advisory Committee
口試日期
Date of Exam
2013-06-19
繳交日期
Date of Submission
2013-07-11
關鍵字
Keywords
算術不等式、複數的尤拉公式、托勒密定理、乘法原理、差角公式、倍角公式、調和平均不等式、和角公式、孟氏定理、速度、多面體尤拉公式、共軛複數、狄摩根法則、餘弦定理、幾何不等式、換底公式、排容原理、畢式定理、勘根定理、正弦定理、半角公式、AMC 12、史都華定理、圓冪定理
law of cosines, law of sines, Pythagorean theorem, inclusion-exclusion principle, De Morgan's laws, Bolzano's theorem, sum identities, rule of product, geometric means inequality, half-angle identities, double-angle identities, Euler's formula of polyhedron, power of a point theorem, Ptolemy's theorem, harmonic means inequality, Menelaus' theorem, difference identities, speed, arithmetic means inequality, AMC 12, Stewart's theorem, change-of-base formula, complex conjugate
統計
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中文摘要
本文針對 2000 至 2013 年的 AMC 12 數學競賽題目進行整理並歸納出十六個基本數學主題,且對這些主題逐一介紹其解題中常使用到的相關定理,包括:算術,例如比例式與速度的算法;多項式,例如勘根定理與其他定理;指數與對數,包含指數律、對數律與其他常用的基本性質;數與座標系,包含分點公式;三角形,包含畢氏定理與三角形重要性質;圓,包含圓冪定理與其他圓重要性質;多邊形,包含托勒密定理與四邊形之分類;立體幾何,包含球體與錐體的體積算法;計數方法,包含集合論與排列組合;機率,包含排容原理與其他機率中常考觀念;數論,包含質因數分解與進位制;數列與級數,包含等差、等比數列與其他常見數列;統計,包含加權平均數與中位數;三角函數,包含正餘弦定理、倍角公式與其他常用公式;函數,包含定義域、值域與其他常見函數;複數,包含共軛複數與常見複數性質。
Abstract
This study investigates the art of solving problems in American Mathematics
Competition 12 (AMC 12) from year 2000 to 2013. These exam problems are classified as 16 basic mathematical topics. The important definitions and theorems are summarized in the paper. The topics includes: 1. arithmetic, including properties of proportionality; 2. polynomials, including Bolzano’s theorem; 3. exponential and logarithmic, including law of exponential and law of logarithmic; 4. number of coordinate systems, including formula of division point; 5. triangle, including the Pythagorean theorem and Menelaus’ theorem; 6. circle, including power of a point theorem; 7. polygons, including Ptolemy’s theorem; 8. solid geometry, including the volume of the sphere; 9. counting, including set theory, permutations and combinations; 10. probability, including exclusive inclusive principle; 11. number theory, including prime factorization and binary system; 12. sequences and series, including arithmetic, geometric sequence with other common sequence; 13. statistics, including the weighted average and median; 14. trigonometric functions, including law of sines and double angle formula; 15. functions, including domain and range with other common functions; 16. complex, including complex conjugate complex with common properties.
目次 Table of Contents
致謝 i
摘要 II
Abstract iii

表次 ix

圖次 x

第一章 前言 1

第二章 算術 3
2.1 介紹 3
2.2 定義、定理 4
2.3 例子 5

第三章 多項式 7
3.1 介紹 7
3.2 定義、定理 8
3.3 例子 14

第四章 指數與對數 17
4.1 介紹 17
4.2 定義、定理 18
4.3 例子 20

第五章 數與座標系 23
5.1 介紹 23
5.2 定義、定理 24
5.3 例子 27

第六章 三角形 29
6.1 介紹 29
6.2 定義、定理 30
6.3 例子 37

第七章 圓 42
7.1 介紹 42
7.2 定義、定理 43
7.3 例子 49

第八章 多邊形 54
8.1 介紹 54
8.2 定義、定理 54
8.3 例子 59

第九章 立體幾何 65
9.1 介紹 65
9.2 定義、定理 65
9.3 例子 70

第十章 計數 72
10.1 介紹 72
10.2 定義、定理 72
10.3 例子 79

第十一章機率 85
11.1 介紹 85
11.2 定義、定理 86
11.2.1 樣本空間與事件 86
11.2.2 機率公設 86
11.2.3 幾何機率 87
11.2.4 排容原理 88
11.2.5 條件機率 88
11.2.6 全機率定理 89
11.2.7 貝氏定理 90
11.3 例子 90

第十二章數論 97
12.1 介紹 97
12.2 定義、定理 97
12.3 例子 101

第十三章數列級數 107
13.1 介紹 107
13.2 定義、定理 107
13.2.1 等差、等比數列 107
13.2.2 遞迴數列 110
13.2.3 雜級數 111
13.3 例子 112

第十四章統計 117
14.1 介紹 117
14.2 定義、定理 117
14.3 例子 118

第十五章三角函數 121
15.1 介紹 121
15.2 定義、定理 122
15.2.1 度與弧度 122
15.2.2 三角函數的定義 122
15.2.3 三角函數的圖形 124
15.2.4 三角函數的關係 125
15.2.5 和差角公式與其應用 127
15.2.6 正弦和餘弦定理與其應用 129
15.3 例子 130

第十六章函數 133
16.1 介紹 133
16.2 定義、定理 134
16.2.1 不等式 140
16.3 例子 141

第十七章複數 144
17.1 介紹 144
17.2 定義、定理 144
17.3 例子 150

參考文獻 153

A 題目分類 155
A.1 算術 155
A.1.1 比例 155
A.1.2 基礎算術 155
A.1.3 時間與距離 155
A.2 多項式 155
A.2.1 餘式定理 155
A.2.2 方程式 156
A.2.3 韋達定理 156
A.2.4 圓錐曲線 156
A.3 指數與對數 156
A.3.1 指數律 156
A.3.2 對數律 156
A.4 數與座標系 157
A.4.1 保距變換 157
A.4.2 分點與距離公式 157
A.4.3 其它 157
A.5 三角形 157
A.5.1 四心性質 157
A.5.2 相似三角形 157
A.5.3 畢氏定理 157
A.5.4 其它 157
A.6 圓 158
A.6.1 兩圓相切與切線性質 158
A.6.2 圓冪定理 158
A.6.3 其它 158
A.7 多邊形 158
A.7.1 平行四邊形性質 158
A.7.2 面積問題 158
A.7.3 其它 158
A.8 立體幾何 159
A.8.1 距離與長度 159
A.8.2 球 159
A.8.3 柱體與體積 159
A.8.4 其它 159
A.9 計數 159
A.9.1 排列組合 159
A.9.2 窮舉法 159
A.9.3 邏輯與集合 159
A.9.4 二項式定理 160
A.9.5 其它 160
A.10 機率 160
A.10.1 古典機率 160
A.10.2 幾何機率 160
A.10.3 其它 160
A.11 數論 160
A.11.1 因數倍數 160
A.11.2 同餘性質 160
A.11.3 進位制 161
A.11.4 其它 161
A.12 數列級數 161
A.12.1 等差與等比數列 161
A.12.2 遞迴數列 161
A.12.3 雜級數 161
A.13 統計 161
A.13.1 平均數 161
A.13.2 中位數 161
A.13.3 其它 162
A.14 三角函數 162
A.14.1 三角函數的定義式與之間關係 162
A.14.2 和差角公式 162
A.14.3 正餘弦定理 162
A.15 函數 162
A.15.1 函數圖形 162
A.15.2 二元運算 162
A.15.3 不等式 162
A.15.4 其它 162
A.16 複數 163
A.16.1 虛數性質 163
A.16.2 複數解 163
A.16.3 長度 163
A.16.4 其它 163
索引 164
參考文獻 References
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