本文針對民國89 至105年之國立台灣大學微積分統一教學上學期期末考試題，並以 Larson and Edwards(2013) 整理成四個主題：積分、積分技巧、積分的應用、微分方程。
在各主題中介紹試題中的名詞定義，並同時介紹相關的定理與性質來幫助解題，最後整理出常見的考題與其應用到的觀念，之後附上例子來幫助了解內容，並在每章的最後一節附上歷年的分類試題以供讀者深入探討與練習。

This study investigates all problems of the final exams of the fall semester of unified teaching of calculus at National Taiwan University from 2000 to 2016. These problems according to Larson and Edwards(2013) are classified as four topics including: Integration, Integration Techniques, Applications of Integration and Differential Equations. Each topics begins with the important
definitions and theorems for problem solving, followed by several neat examples chosen to illustrate the applications of theorems and
the range of topics and difficulty. All the classified exam problems are included in the last section of each topic for further study and practice.

論文審定書i
誌謝ii
摘要iii
Abstract iv
表次viii
圖次ix
第一章介紹1
第二章積分4
2.1 反導函數和不定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 反導函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 反導函數的記號. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 基本積分規則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 ∑符號. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 黎曼和與定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 上和與下和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 黎曼和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 定積分的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 微積分基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 微積分基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 積分的均值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.3 函數的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.4 微積分基本定理第二式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.5 偶函數和奇函數的積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 數值積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 梯形法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.2 辛普森法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 黎曼和與定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.2 微積分基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.3 數值積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第三章積分技巧22
3.1 基本積分法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 整理被積分函數以適用基本規則. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 分部積分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 分部積分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 變數代換法求不定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 變數變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 三角函數的積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 含正、餘弦冪次的積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 含正割、正切冪次的積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.3 涉及不同角度的正餘弦乘積的積分. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 三角代換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 三角代換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 部分分式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.1 部分分式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 正、餘弦合成的有理函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 不定型和羅必達法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.1 不定型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.2 羅必達法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8.1 上（下）限是無窮大的瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8.2 函數有無窮大極限的瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9.1 分部積分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9.2 變數代換法求不定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9.3 三角代換法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.4 部分分式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.9.5 羅必達法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9.6 瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
第四章積分的應用59
4.1 兩曲線之間區域的面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.1 兩曲線之間區域的面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 旋轉體體積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 圓盤法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 圓柱殼法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.3 圓盤法和圓柱殼法的比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 弧長和旋轉面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 弧長. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.2 旋轉面的面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 質矩、質心和形心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1 質量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.2 一維系統的質心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.3 二維系統的質心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.4 薄膜的質心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.5 帕普斯定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.1 兩曲線之間區域的面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.2 體積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.3 弧長和旋轉面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.4 質矩、質心、形心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第五章微分方程103
5.1 分離變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 一階線性微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1 分離變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 一階線性微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
參考文獻111

Hohenwarter, M., Borcherds, M., Ancsin, G., Bencze, B., Blossier, M., Delobelle,
A., Denizet, C., ´ Eli´as, J., Fekete, ´ A, G´al, L., Koneˇcn´y, Z., Kov´acs, Z., Lizelfelner,
S., Parisse, B. and Sturr, G. (2013). GeoGebra 4.4.
http://www.geogebra.org.

Larson, Ron and Edwards, Bruce H. (2013). Calculus, 10th Edition. New York:
Brooks Cole.

微積分甲統一教學網站(2017)。
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/a/?page_id=7

微積分乙統一教學網站(2017)。
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/b/?page_id=861

微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(上)期中試題為例。台灣高雄市國立中
山大學碩士論文。

微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(下)期中試題為例。台灣高雄市國立中
山大學碩士論文。