本文將對數學競賽求和題型之題目進行探討，第一章介紹數列及級數的基本概念，及高中課程中的等差及等比數列，無窮等比數列等…相關概念。第二章介紹組合數學的一般性質，及組合數學在數學競賽中求和題型之應用。
大多是觀察級數之一般項是否由組合來表示，及其展開式是否可利用二項式定理延伸而得。第三章介紹透過冪級數可逐項微分或積分之性質來求解，及藉由轉換遞迴關係式找到生成函數的冪級數係數，解出原來的遞迴關係式再進行求解。第四章分成四個方法：反差分、部份分式、三角函數及階乘函數對求和問題進行討論，而反差分之方法又可分為下降階乘冪、等比型及三角函數三種型式，其概念著重於將級數轉換為離散型之積分型式；而部分分式與三角函數主要概念著重於對級數中的一般項進行拆解，或藉由乘上適當的輔助量之後，級數可以進行對消，進而求得解。因階乘函數並無一般的型式，故不作深入探討，只提供相關例題。第五章是延續第四章的概念去探討乘積題型，分為平方差和三角函數兩部分作介紹，主要概念均為藉由乘上適當的輔助量之後，乘積可以進行對消，進而求得解。

This paper investigates four important methods of solving summation and product problems in mathematics competitions. Chapter 1 presents the basic concepts of sequence and series, including arithmetic sequence (series), geometric sequence (series) and infinite geometric sequence (series). Chapter 2 handles the binomial coefficients and binomial theorem and show they how can be applied
to compute series sum. Chapter 3 deals with power series, including interchanging summation and differentiation; interchanging summation and integration; and generating function which expresses a sequence as coefficients arising from a power series in variables. Chapter 4 provides four methods of telescoping sum, including antidifference, partial fractions, trigonometric functions, and factorial functions. Chapter 5 discusses the telescoping product which the main ideas and techniques are analogous to telescoping sum. Two types of telescoping product including difference of two squares and trigonometric functions are investigated.

目錄
表目錄 iv
圖目錄 v
中文摘要 vi
Abstract vii
第一章數列與級數 1
1.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 等差數列與等差級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 等比數列與等比級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 無窮數列極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 無窮級數及無窮等比級數之和. . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 特殊數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9.1 數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13
1.9.2 級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 16
1.9.3 等差數列與等差級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9.4 等比數列與等比級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.5 等差數列及等比數列應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.6 無窮數列極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.7 無窮級數及無窮等比級數之和. . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.8 特殊數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24
第二章二項式係數 25
2.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 二項式係數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 二項式係數. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 33
第三章冪級數 35
3.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 35
3.2 冪級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 35
3.3 生成函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 冪級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 生成函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
第四章對消和 48
4.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 反差分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 50
4.2.1 下降階乘冪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 ak = r±k, r = 1 型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.3 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . 61
4.3 部份分式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 階乘函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 67
4.6 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 68
4.6.1 反差分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.2 部份分式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.3 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6.4 階乘函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6.5 雜例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
第五章對消與合併乘積 73
5.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 平方差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 半角與倍角公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 積化和差公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.1 平方差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4.2 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A 定理證明 81
B 簡稱、符號對照表 92
2.1 簡稱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2 符號：複數系的集合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3 符號：集合運算、組合、下降階乘冪. . . . . . . . . . . 92
參考文獻 93
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