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博碩士論文 etd-0702118-151359 詳細資訊
Title page for etd-0702118-151359
論文名稱
Title
Mathematica 11.2 在微積分的應用
Applications of Mathematica 11.2 in Calculus
系所名稱
Department
畢業學年期
Year, semester
語文別
Language
學位類別
Degree
頁數
Number of pages
113
研究生
Author
指導教授
Advisor
召集委員
Convenor
口試委員
Advisory Committee
口試日期
Date of Exam
2018-07-18
繳交日期
Date of Submission
2018-08-02
關鍵字
Keywords
微積分、互動式介面、幾何、Mathematica 11.2、級數
dynamic interactivity, Mathematica 11.2, series, geometry, mathematical symbolic software, calculus
統計
Statistics
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中文摘要
本文主要探討數學符號軟體 Mathematica 11.2 在微積分的應用,介紹微積分、數列級數等相關的基本指令,詳細介紹微積分與數列級數兩個主題。微積分主要探討極限的應用,以及微分與函數的關係,如:求切線、找極值以及利用 Mathematica 的圖形找零根,接著討論積分與幾何弧長、面積、表面積與體積的關係。而數列級數主要探討數列極限、級數的歛散性質、泰勒多項式、冪級數的收斂半徑以及泰勒級數。
Abstract
This paper investigates the applications of mathematical symbolic software Mathematica 11.2 in calculus. First, we review some basic commands related to calculus. Next, we study three applied topics in calculus: derivative, integration for a univariate function, and sequence and series. The applications of derivative include finding tangent line, finding extreme values, and using graphics in Mathematica to find zero roots. The applications of integration include finding arc length, area, surface area, and volume. The applications of sequence and series focuses on the limit of a sequence, the properties of convergent series, the Taylor and Maclaurin polynomials, the radius of convergence of a power series, the Taylor series.
目次 Table of Contents
論文審定書 i
致謝 ii
摘要 iii
Abstract iv
表次 ix
第一章 前言 1
第二章 Mathematica 基本指令 3
2.1 Mathematica 常用指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 List 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Table 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Range 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.4 ReplaceAll 指令與 Rule 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.5 Assuming 指令與 Refine 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.6 Simplify 指令與 FullSimplify 指令 . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Mathematica 計算指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 數學符號 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.1 Abs 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.2 Log 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.3 Infinity 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 計算指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2.1 Total 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2.2 N 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2.3 Numerator 指令與 Denominator 指令 . . . . . . . . . 13
2.2.2.4 Apart 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 解方程式與不等式相關指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.1 Solve 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.2 Reduce 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3.3 FindRoot 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 特殊的運算指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4.1 Map 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4.2 Inactivate 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Mathematica 格式、圖形與動畫指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1.1 Column 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1.2 Grid 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1.3 Style 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.1 Plot 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.2 Plot3D 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 動畫 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3.1 Panel 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3.2 Manipulate 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
第三章 微分與積分的應用 25
3.1 極限值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Limit 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 DiscreteLimit 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 DiscretePlot 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 極限值應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 D 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Dt 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3 極值相關指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3.1 FindMaximum 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3.2 FindMinimum 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3.3 Maximize 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.3.4 Minimize 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4 微分應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4.1 函數與切線方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4.2 函數與極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4.3 利用 Mathematica 的圖形找零根 . . . . . . . . . . . . 39
3.3 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Integrate 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 幾何基本指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2.1 ImplicitRegion 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2.2 Area 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2.3 Volume 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2.4 ArcLength 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.3 積分在幾何上的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3.1 積分在平面面積的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3.2 積分在體積的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3.3 積分在弧長的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3.4 積分在表面積的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4 極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.4.1 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.4.2 弧長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4.3 旋轉表面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.4.4 旋轉體積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.5 柱座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.6 球座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
第四章 數列與無窮級數 62
4.1 數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1 數列的極限值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 數列的收斂與發散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 判斷數列是否為單調數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 級數收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 無窮級數和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1.1 Sum 指令與 NSum 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 等比級數的收斂與發散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2.1 SumConvergence 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3 由極限值判斷級數收斂性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 積分檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 積分檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2 p 級數的收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 比較檢定與極限比較檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 比較檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2 極限比較檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 交錯級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.1 交錯級數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.2 交錯級數和的近似值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.3 利用近似值誤差找出需要的項數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.4 絕對收斂以及條件收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 比例檢定與根值檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.1 比例檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.2 根值檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7 泰勒多項式與馬克勞林多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7.1 Series 指令與 Normal 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7.2 泰勒多項式與馬克勞林多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7.3 泰勒多項式的餘項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.8 冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8.1 收斂半徑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8.2 收斂區間與端點的收斂性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.8.3 冪級數積分與微分的收斂區間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.9 利用冪級數來表達函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.9.1 SeriesCoefficient 指令 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.9.2 函數的冪級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9.3 利用冪級數近似 π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10 泰勒級數與馬克勞林級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10.1 泰勒級數的收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
參考文獻 102
參考文獻 References
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http://www.wolfram.com
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