介電質光波導是一種應用在光傳輸上的重要元件，本文針對光波導的傳播參數以及特性做基礎的分析討論，並開發一種以簡單正交基底解模態的方法，來解二維矩形介電質波導結構，並詳盡的分析其場型的特性。進而再探討如何以計算量較小的導波模態基底的張量積來展波導。
首先，我們詳細推導在介電質波導中電磁波的磁場分量的耦合微分方程式，並探討它們在界面上的連續以及微分條件。然後以一維的結構來驗證此方法的精確度，確認之後才應用到二維的矩形波導。利用簡單的二維基底函數的線性組合，來展直角座標的介電質波導的模態。用嚴謹的數值積分公式化簡，得到矩陣的特徵值、特徵向量方程式來解出此組二維係數。我們假設其有不同的邊界或對稱條件，即可得到不同極化的向量模態解。
此篇論文中所用簡單正交基底函數展開的方法，每一種邊界條件的波導形式都可以找到恰當的基底函數，如此一來，不管是多複雜的波導，在經過邊界條件的定義與計算後，矩陣中每一元素的積分，皆可以得到公式解。
此方法解出的模態的有效折射率約有四位的有效位數，而場型也相當準確。因此我們認為此方法為可解二維介電質波導模態的方法。

The dielectric waveguide is an important component used in the optical communication system. In this thesis, we conduct basic research on the propagation constant and the characteristic of the dielectric waveguide. We develop a method to expand 2-D rectangular dielectric waveguide modes with simple orthogonal bases. Furthermore, we improve the convergent rate by expanding waveguide modes with tensor product of properly chosen guiding-mode bases.

We first derive the coupled differential equations of the two transverse magnetic field components which satisfy the continuous boundary conditions across all material interfaces. Then we investigate and verify the accuracy of this method on 1-D rectangular waveguide so that we can apply the technique to 2-D rectangular waveguides. By means of linear combination of simple 2-D orthogonal bases, we expand the mode of rectangular dielectric waveguide. Through rigorous mathematical closed-form integration, we obtain the equivalent matrix whose eigenvalues and associated eigenvectors become the mode propagation constants and mode field distribution functions of the underlying 2-D dielectric waveguide. Whenever symmetry exists we can reduce the size of the problem by choosing appropriate boundary conditions in accordance to particular mode polarization desired.

This method provides at least four significant digits of propagation constant and detailed field description of the rectangular dielectric waveguide. We believe that it is an effective method for modal analysis of 2-D complex dielectric-waveguides.

誌謝 I
中文摘要 III
英文摘要 IV
目錄 V
圖表目錄 VII
第一章 導論 1
1-1 研究動機 1
1-2 簡介 1
1-3 馬克斯威爾方程式 4
第二章 一維簡單正交基底之介電質波導的理論 9
2-1 波導結構理論分析 9
2-2 微分方程式 11
2-3 數值計算通式推導(TE wave) 15
2-4 數值計算通式推導(TM wave) 19
第三章 二維簡單正交基底之介電質波導的理論 24
3-1 波導結構理論分析 24
3-2 耦合矩陣方程式 25
3-3 求解波導模態概述 30
3-4 磁場耦合矩陣方程式通解 34
3-5 已定邊界下的基底函數求法 42
第四章 一維的數值計算結果 47
4-1 場型圖 47
4-2 數值計算模擬結果 52
第五章 二維的數值計算結果 54
5-1 二維波導磁場的場型圖 54
5-2 數值計算模擬結果 72
第六章 導波基底之介電質波導的理論 74
6-1 導波基底展波導簡介 76
6-2 理論推導 79
第七章 結論 82
附錄 A：介質界面電、磁場的連續條件 84
B：特殊上下標的定義 86
C：不同邊界上電場、磁場的特性 88
D：不同邊界牆的基底函數詳細表格 89
E：平板波導特徵方程式推導 95
參考文獻 98
中英對照表 99

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