複數是數學上的一項重大發現，可應用於許多科學領域的問題，包括工程學、電磁學、量子力學、應用數學和混沌理論。本文的目的主要探討如何巧妙地使用複數的方法在代數、三角函數以及幾何的問題。

Complex number is a major mathematical discovery. It can be used in many scientific fields, including engineering, electromagnetism, quantum
physics, applied mathematics, and chaos theory. The aim of this paper investigates the problems of algebra, trigonometry and geometry, which
can be solved cleverly by the properties of complex numbers.

誌謝 i
摘要 ii
Abstract iii
圖次 viii
表次 ix
第一章複數的介紹1
1.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 複數的表示法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 複數的代數形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 用平面坐標表示複數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 複數的向量表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 複數的極式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 複數的指數形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 複數的矩陣表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第二章複數的基本概念與運算10
2.1 複數代數的概念與運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 複數的加法與乘法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 共軛複數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 複數的長度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 虛數 i 的冪次. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 複數三角的概念與運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 極式的乘法與除法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 棣美弗定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 複數 n 次方根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 複數幾何的概念與運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 基本幾何運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 軌跡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 複數的內積與外積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
第三章複數與代數、三角函數的應用52
3.1 複數與代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1 多項式的因式分解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2 多項式的整除性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 解方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.4 方程式的根與係數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.5 組合數求和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 複數與三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 和角與倍角公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 級數求和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3 著名的性質應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
第四章複數與幾何的應用83
4.1 直線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1 直線方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.2 點與直線的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 三角形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 三角形的性質與基本不變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 三角形的面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.3 三角形的心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.4 三角形中的距離. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.5 三角形的質心座標表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.6 三角形面積比的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
第五章歷屆競賽試題139
5.1 基本運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 複數共軛根定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 長度、共軛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 n 次方根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5 虛數i 的冪次. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.6 棣美弗定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.7 外積和內積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A 簡稱、符號對照表149
A.1 簡稱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2 符號：數系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3 符號：集合運算、區間、組合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
參考文獻 151
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