本論文主要是利用頻域有限差分法分析各種光學元件，如：微環型共振腔(micro-ring cavities)、錐形波導(taper waveguides)、斜斷面波導(tilted facet waveguides)等光學元件，在分析此光學元件之前我們需要創造一些分析方法才能進一步分析此元件。
首先為了避免模擬時傳遞波打到左右邊界造成反射影響分析的場型，所以我們需在頻域有限差分上發展左右吸收邊界，此方法我們稱為模態吸收邊界(modal absorbing boundary condition)，它是結合解析理論的模態觀念和有限差分理論的取樣觀念所發展而成，根據模擬的結果，它可有效的防止波的反射。
接著為了解決折射率在任意形狀邊界的平均，發展一套新的平均方法，此方法是根據折射率的邊界經過有限差分的格點做處理(for finite-difference cells that cross material interfaces)，我們稱此方法為介質係數平均法(effective index averaging scheme)，此方法對不同的極化有著不同的作法，在TE極化對其折射率使用面積比例平均來處理跨介面的問題，而TM極化由於折射率需做一次微分，因此處理上比較困難，我們使用四個折射率矩陣來近似折射率的微分，分別是向上移半格、向下移半格、向左移半格、向右移半格，每個矩陣對跨介面的處理仍然使用面積比例平均，將所得的四個矩陣相加，在配合有限差分式可得場型圖,根據此處理方式可明顯增加有效位數。
最後為了解決計算量的問題，發展一個解決的方法，此方法稱之為(direct method for solving huge block tri-diagonal matrix equation)，它是引用數值方法的Thamos method作改善來求解有限差分的變數，此演算法可有效的增加計算結構大小和降低計算時間。
我們利用上述的分析方法應用於各種光波導的模擬，其模擬的結果包括結構的場型、反射係數、穿透係數等。

In this thesis, we demonstrated the effectiveness and the accuracy of the FD-FD method for complex optical waveguide structures such as the micro ring resonator, micro disk resonator, tapered waveguides and waveguides terminated with tilted facets. We are able to achieve the goals by deriving the following modification/extension of the original FD-FD methods.
In frequency domain, we can build an accurate frequency-domain modal absorbing boundary condition (ABC) for both the homogeneous region and for the layered background. This allows us to connect the analytical modal solutions with FD solutions and thus reduce the area of the FD domain.
In addition, we adopt an effective index averaging method for representing equivalent material for grid cells containing more than one kind of materials. For the TM case, for each grid cell we need to compute effective indices for all four surrounding cells (left, right, up, and down). For the TE case, we need to compute just one effective index within each grid cell. Note that we employ two different averaging schemes for the TE and the TM cases.
To solve the huge block tri-diagonal matrix equation (derived from the FD-FD approximation) we modified the Thomas method and we were able to obtain the solutions of linear equations involving more than a hundred thousand variables under a few minutes. We used our method to analyze optical micro-ring waveguides, micro-disk cavities, adiabatic tapered waveguides and waveguides terminated with tilted facets. The simulated results include the reflection coefficients, transmission coefficients and field distribution.

目錄
誌謝 I
中文摘要 II
英文摘要 IV
目錄 V
圖表目錄 VIII
第一章、導論 1
1-1 簡介 1
1-2 波動方程式的介紹 3
1-2.1一維純量Maxwell equation 3
1-2.2二維純量Maxwell equation 5
1-3 有限差分介紹 8
1-4 頻域有限差分(FDFD)求解流程 10
第二章、模態吸收邊界 11
2-1 前言 11
2-2 模態吸收邊界理論 12
2-3 Green’s function 18
2-4 驗證方法 21
2-5 數值結果 23
2-6 結論 33
2-7 參考文獻 34
第三章、係數平均 35
3-1 前言 35
3-2係數平均原理 36
3-3驗證方法 40
3-4 數值結果 41
3-5 結論 52
3-6 參考文獻 53
第四章、Taper waveguides 54
4-1 前言 54
4-2 模擬方法 55
4-3 數值結果 59
4-4結論 71
4-5參考文獻 72
第五章、環型共振腔 73
5-1 前言 73
5-2 模擬方法 74
5-3 數值結果 76
5-4結論 86
5-5參考文獻 87
第六章、總結論 88
附錄一、TE極化二維矩陣範例 89
附錄二、TM極化二維矩陣範例 94
附錄三、Solve tri-diagonal matrix 99
中英對照表 101

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