在日常生活中，無論是汽機車、航太工業及3C產業等產品，外觀上無不追求流線和講究美觀，因此如何縮短切削時間以及提高加工表面精度己成為重要考量因素之一。然而傳統工具機之加工方式只能接受直線和圓弧插值，無法直接接受CAD所設計外形的自由曲線及曲面資料，因此須透過CAM系統將刀具路徑規劃，以微小直線或圓弧近似方式產生G-Code與M-Code之NC加工碼，其近似方法具有佔據大量記憶體的容量、需要快速加工傳輸速度與工具機運動之加減速頻繁等現象，使之不易達成高速高精密加工要求。為了解決上述問題，本研究改以直接接受CAD/CAM的NURBS曲線之NC加工碼，使CNC工具機具有直接進行NURBS曲線插值之功能，來改善傳統加工之缺點，以達高速高精度之加工目的。再者NURBS插值常搭配控制器使用，這樣會使得CNC工具機設備變得非常昂貴，且要調控制器參數也非常麻煩，因此本論文提出一個結合NURBS與DDA即時插值整合應用的概念，去降低實務應用時需要加入控制器設計的因素。

Nowadays almost all products used in our daily life are made in pursuit of streamline and good look, including mobiles, motorcycles, aerospace and 3C industry; therefore, how to shorten process time and enhance the smoothness of the product’s surface has become one of the important issues. However, the process method of traditional CNC machines only can support line and circular interpolations but cannot accept motion along curve and circular paths. Therefore, the traditional CNC machines have to rely on CAM, a method to generate the NC code called G-code and M-code by approximating many tiny linear or circular segments, to plan the cutter paths. But this approximating method requires higher transmission speed; it also occupies huge memory capacity and makes the velocity of machine tool discontinuous, in order to difficultly meet the requirement of high speed and better precision. In order to solve the above problems, this thesis adopts the NC code created by CAD/CAM’s NURBS curve which called NURBS-code, making CNC machines have the function of processing NURBS curve interpolations to improve the defect of the traditional processing and thus reach the goal of high speed and better precision. Furthermore, due to NURBS interpolators are always implemented by the controller. This always makes CNC machine become very expensive; meanwhile, adjusting parameters is very troublesome. Therefore this thesis also provides the intergrated method of NURBS and DDA real-time interpolator to make the application in the easy way without the consideration of controller design for AC driver.

目錄
目錄…………………………………………………………………i
圖索引………………………………………………………………iv
表索引………………………………………………………………ix
摘要…………………………………………………………………x
Abstract……………………………………………………………xi
第一章 緒論……………………………………………………………1
1-1 前言…………………………………………………………………1
1-2 研究動機與目的……………………………………………………2
1-3 文獻回顧……………………………………………………………4
1-4 論文架構……………………………………………………………6
第二章 傳統插值法則…………………………………………………7
2-1 插值運算概念………………………………………………………7
2-2 逐點比較法…………………………………………………………9
2-2-1 逐點比較法之直線插值原理…………………………………10
2-2-2 逐點比較法之圓弧插值原理…………………………………15
2-3 DDA數字積分法理論………………………………………………19
2-3-1 DDA數字積分法之直線插值原理………………………………23
2-3-2 DDA數字積分法之圓弧插值原理………………………………26
第三章 參數式NURBS曲線……………………………………………30
3-1 NURBS的數學模型與特性描述……………………………………34
3-2 修正Cox-DeBoor基底函數………………………………………38
3-3 NURBS計算時間的縮短方法………………………………………44
3-4 參數化曲線插值法則……………………………………………47
3-5 曲率與進幾率對插值的影響……………………………………55
第四章 模擬結果與分析………………………………………………58
4-1模擬一：圓…………………………………………………………59
4-2模擬二：曲率與進幾率對插值的影響……………………………69
4-3模擬三：蝴蝶結型…………………………………………………75
4-4模擬四：NURBS+DDA………………………………………………82
第五章 系統實作………………………………………………………87
5-1實驗系統架構………………………………………………………87
5-2實驗結果……………………………………………………………90
5-2-1實驗一：傳統插值法(一)………………………………………90
實驗一：傳統插值法(二)………………………………………91
5-2-2實驗二：NURBS+DDA插值方式(一)……………………………92
實驗二：NURBS+DDA插值方式(二)……………………………93
第六章 結論及未來展望………………………………………………96
參考文獻………………………………………………………………98
附錄A　有理函數微分之推導………………………………………102
附錄B　人機界面…………………………………………………….103
附錄C　傳統插值(一)NC加工碼…………………………………….106
附錄D　傳統插值(二)之米老鼠NC加工碼…………………………107
附錄E　NURBS NC加工碼(一)圓形…………………………………111
附錄F　NURBS NC加工碼(二)蝴蝶結形……………………………111
圖索引
圖1.1 傳統CAD/CAM加工流程圖………………………………….2
圖1.2 NURBS加工流程圖……………………………………………3
圖2.1 直線插值示意圖…………………………………………………8
圖2.2 逐點比較法流程圖……………………………………………10
圖2.3 第一象限直線插值原理………………………………………11
圖2.4 第一象限直線插值流程圖……………………………………13
圖2.5 第一象限直線插值模擬結果…………………………………13
圖2.6 四個象限插值運算示意圖……………………………………14
圖2.7 第一限象限逆時針圓弧插值…………………………………15
圖2.8 第一象限逆時針圓弧插值流程圖……………………………17
圖2.9 第一象限逆時針圓弧插值模擬結果…………………………17
圖2.10 逆時針圓弧插值圖……………………………………………18
圖2.11 順時針圓弧插值圖……………………………………………18
圖2.12 連續函數之數位積分示意圖…………………………………19
圖2.13 DDA積分器之結構……………………………………………20
圖2.14 DDA積分器的符號圖…………………………………………21
圖2.15 單軸DDA流程圖.……………………………………………22
圖2.16 單軸DDA脈波輸出……………………………………………23
圖2.17 雙軸直線DDA架構圖…………………………………………23
圖2.18 直線速度圖……………………………………………………24
圖2.19 雙軸直線DDA流程圖…………………………………………24
圖2.20 X、Y軸之脈波輸出頻率………………………………………25
圖2.21 雙軸之位置輸出………………………………………………25
圖2.22 圓弧速度圖……………………………………………………26
圖2.23 圓弧DDA插值架構圖…………………………………………27
圖2.24 圓弧順時針DDA流程圖………………………………………27
圖2.25 圓弧DDA插值路徑圖…………………………………………29
圖2.26 八種圓弧………………………………………………………29
圖3.1前後控制點在Bezier曲線上曲線隨著控制點移動做全域變化30
圖3.2 控制點對B-Spline曲線之局部影響…………………………32
圖3.3 B-Spline與理想圓的示意圖……………………………………32
圖3.4 n=2之NURBS曲線…………………………………………37
圖3.5 Ni,k(u)的新定義流程圖………………………………………39
圖3.6 Cox-DeBoor對基底函數的影響……………………………40
圖3.7 Cox-DeBoor對B-Spline的影響………………………………41
圖3.8 對NURBS曲線的影響………………………………………43
圖3.9 MATLAB上出現警告訊息…………………………………44
圖3.10 k階層之基底函數 樹狀結構…………………………44
圖3.11 基底函數微分m階 之樹狀結構………………………45
圖3.12 k=4階層的基底函數疊代次數………………………………45
圖3.13 空間中NURBS曲線插值示意圖……………………………48
圖3.14 直接插值架構..………………………………………………52
圖3.15 Adams-Beshforth預測修正法架構圖…………………………53
圖3.16 閉迴路進給迴授插值架構圖…………………………………55
圖3.17 插值之弦誤差示意圖…………………………………………55
圖3.18 進給率和曲率的關係…………………………………………57
圖4.1 追縱誤差和輪廓誤差…………………………………………58
圖4.2 逐點比較法之圓形輪廓路徑…………………………………59
圖4.3 逐點比較法之輪廓誤差分析…………………………………60
圖4.4 DDA數字積分法之圓形輪廓路徑…………………………60
圖4.5 DDA數字積分法之輪廓誤差分析…………………………61
圖4.6 圓型NURBS參數曲線………………………………………62
圖4.7 相對參數u之基底函數………………………………………63
圖4.8 不同插值之進給率誤差(進給率＝25mm/s)…………………65
圖4.9 不同插值之進給率誤差(進給率＝50mm/s)…………………66
圖4.10 NURBS圓形輪廓軌跡………………………………………67
圖4.11 NURBS參考命令與理想的圓之輪廓誤差…………………68
圖4.12 參考命令之位置圖…………………………………………68
圖4.13 參考命令之速度圖…………………………………………69
圖4.14 3D之NURBS曲線…………………………………………….69
圖4.15 (a)X-Y平面圖…………………………………………………70
圖4.15 (b)X-Z平面圖…………………………………………………70
圖4.16 定速下曲率分佈……………………………………………71
圖4.17 定速下弦誤差分佈…………………………………………71
圖4.18 各軸速度對時間分佈………………………………………72
圖4.19 各軸加速度對時間分佈………………………………………72
圖4.20 進給率變化對參數u之分佈………………………………73
圖4.21 弦誤差對時間之分佈…………………………………………73
圖4.22 X軸速度與加速度對時間分佈情形…………………………73
圖4.23 Y軸速度與加速度對時間分佈情形…………………………74
圖4.24 Z軸速度與加速度對時間分佈情形…………………………74
圖4.25 蝴蝶結型NURBS參數曲線…………………………………75
圖4.26 (a)Taylor1式進給率誤差……………………………………76
圖4.26 (b)Taylor2式進給率誤差……………………………………76
圖4.26 (c)後向式P-C法之進給率誤差 ………………………77
圖4.26 (d)後向式P-C法之進給率誤差 ……………………77
圖4.27 梯形速度規劃………………………………………………78
圖4.28 (a)Taylor1式速度規劃……………………………………79
圖4.28 (b)Taylor2式速度規劃………………………………………80
圖4.28 (c)後向式P-C法之速度規劃(1%)………………………80
圖4.28 (d)後向式P-C法速度規劃(0.5%)……………………81
圖4.28 (e)後向式P-C法速度規劃(0.1%)…………………………81
圖4.29 NURBS+DDA方塊圖………………………………………82
圖4.30 轉換機制……………………………………………………83
圖4.31 NURBS和NURBS轉DDA後的循圓軌跡…………………83
圖4.32 無條件捨棄(Floor)之追蹤誤差和輪廓誤差………………84
圖4.33 無條件進位(Ceil)之追蹤誤差和輪廓誤差…………………84
圖4.34 4捨5入(4/5)之追蹤誤差和輪廓誤差………………………85
圖4.35無條件捨棄(Floor)之追蹤誤差和輪廓誤差…………………86
圖5.1　實驗系統架構圖……………………………………………87
圖5.2 BCB開發之人機界面…………………………………………88
圖5.3 XYZ運動平台(driver在箱子裡)……………………………89
圖5.4 PISO-PS300硬體實體圖(泓格)………………………………90
圖5.5　傳統方式(一)之預覽…………………………………………90
圖5.6 傳統方式(一)之機台實際運動………………………………91
圖5.7 傳統方式(二)之預覽………………………………………91
圖5.8 傳統方式(二)之機台實際運動……………………………92
圖5.9 NURBS+DDA方式(一)之預覽………………………………92
圖5.10 NURBS+DDA方式(一)之機台實際運動………………………93
圖5.11 NURBS+DDA方式(二)之預覽………………………………94
圖5.12 NURBS+DDA方式(二)之機台實際運動………………………94
表索引
表2.1 第一象限直線插值運算表……………………………………13
表2.2 其他象限直線插值演算表……………………………………14
表2.3 逆時針圓弧插值運算表………………………………………17
表2.4 其他情況圓弧進給方向和偏差計算…………………………18
表2.5 單軸DDA脈波輸出演算表…………………………………..22
表2.6 直線DDA插值演算表………………………………………25
表2.7 圓弧DDA插值演算表………………………………………28
表3.1 不同階數疊代方程式之次數比較……………………………47
表4.1 圓型NURBS參數設定………………………………………62
表4.2 即時插值之中斷時間設定…………………………………63
表4.3 中斷時間與進給率誤差對後向式P-C法之比較(100mm/s)…64
表4.4 空間NURBS參數設定………………………………………70
表4.5 蝴蝶結型NURBS參數設定…………………………………75
表5.1　Panasonic MSMA042A1E型AC伺服馬達規格表…………89

參考文獻
[1]Shpitalni M., Y. Koren, and C.C. Lo, “Real-Time Curve Interpolators”, Computer-Aided Design, Vol. 26, No. 11, p832-838, 1994.
[2]Piegl L. and W. Tiller, The NURBS Book 2nd Edition, Springer,1997.
[3]Piegl L., “On NURBS:A Survey”, IEEE Computer Graphics & Application，Vol.11, No.1, p55-71, Jan.1991.
[4]Blanc C. and C. Schlick, ”Accurate Parameterization of Conics by NURBS”, IEEE Computer Graphics and Applications, p64-71, Nov. 1996.
[5]Deng J.J., ”An Improved Definition of B-Spline Basis Function”, Journal of the Chinese Institute of Industrial Engineers, Vol.16, No.5, p569-670, 1999.
[6]Ke Lü. and He. Ning, ”Offset of NURBS Curves by Genetic Algorithm”, IEEE Intelligent Control and Automation, p564-568, 2000.
[7]Gopi M. and S. Manohar, ”A Unified Architecture for the Computation of B-Spline Curves and Surfaces”, IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, Vol.8, No.12, Dec. 1997.
[8]Ou S.C., L.H. Shiu, S.J. Hsiao and W.T. Sung, ”Accelerate the Calculation of NURBS Curves and Surfaces Based on Parallel Architecture”, IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, p245-250, 2002.
[9]Masory O., and Y.Koren，”Reference-Word Circle Interpolators for CNC System”, Transactions of the ASME, Vol.104, p400-405, Nov. 1982.
[10]Koren Y., Computer Control of Manufacturing Systems, McGraw-Hill, 1983.
[11]Chou J.J. and D.C.H. Yang, ”Command Generation for Three-Axis CNC Machining”, Journal of Engineering for Industry，Transactions of the ASME, Vol.113, p305-310, Aug. 1991.
[12]Kim D.Ⅱ, ”Study on Interpolation Algorithms of CNC Machine Tools”, IEEE Industry Applications Conference , p1930-1937, 1995.
[13]Zhang Q.G.and R.B. Greenway, ”Development and Implementation of a NURBS Curve Motion Interpolator”, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Vol.14, p27-36, 1998.
[14]Bollinger John.G, Computer Control of Machines and Processes, Addison-Wesley, 1988.
[15]Yeh S.S. and P.L. Hsu, ”The Speed-Controlled Interpolator for Machining Parametric Curves”, Computer-Aided Design, Vol.31, No.5, p349-357, 1999.
[16]Yeh S.S and P.L. Hsu, “Adaptive-Feedrate Interpolation for Parametric Curves with a Confined Chord Error”, Computer-Aided Design, Vol.34, No.3, p229–237, 2002.
[17]Yang D.C.H. and T. Kong, ”Parametric Interpolator Versus Linear Interpolator for Precision CNC Machining”, Computer-Aided Design，Vol.26, No.3, p225-234, 1994.
[18]Farouki R.T. and Y.F. Tsai, ”Exact Taylor Series Coefficients for Variable-Feedrate CNC Curve Interpolators”, Computer-Aided Design, Vol.33, No.2, p155-165, 2001.
[19]Lo C.C., ”Feedback Interpolators for CNC Machine Tools”, Journal of
Manufacturing Science and Engineering, Transactions of the ASME, Vol. 119, pp. 587-592, 1997.
[20]Cheng M.Y., M.C. Tsai and J.C. Kuo, ”Real-Time NURBS Command Generators for CNC Servo Controllers”, International Journal of Machine Tools & Manufacture42, p801-813, 2002.
[21]Cheng C.W. and M.C. Tsai, ”A Real-Time Predictor-Corrector Interpolator for CNC Machining”, Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol.125, p449-460, Aug.2003
[22]Zhiming X., C.J. Cheng and F. Zhengjin, ”Performance Evaluation of a Real-Time Interpolation Algorithm for NURBS Curves”, Journal of Advanced Manufacturing Technology, 20:270-276, 2002.
[23]郭洲成，”CNC伺服控制器之NURBS即時插值器設計與實現”，國立成功大學機械工程學研究所碩士論文，民國八十九年
[24]葉賜旭，”多軸運動系統之整合式控制器及參數化插值器設計”，國立交大學電機與控制工程學系博士論文，民國八十九年
[25]鄭中緯，”運動控制器之即時NURBS曲及曲面插值器設計與實現”，國立成功大學機械工程學研究所博士論文，民國九十二年
[26]鄧志堅，黃玟錫，”Cox－DeBoor基本函數對NURBS的影響”，科技學刊第10卷第2期，p107-117，2001年3月
[27]許明景，”新一代運動控制ASIC功能分析”，機械工業雜誌253期，p156-166，2004年4月
[28]經濟部工業局，”工業技術人才培訓計畫講義”，工業技術研究院機械工業研究所，1992年9月
[29]張寶琳，”數控技術”，機械工業出版社，1997年8月
[30]王仁傑，”CNC工具機加工路徑補間之研究”，國立成功大學造船暨船舶機械工程研究所碩士論文，民國九十一年六月
[31]陳秋帆，”DDA 高次插值器整合最佳化加減速曲線”，國立台北科技大學自動化科技研究所，民國九十二年
[32]郭銘仁，”高速銑削NURBS插補技術發展”，國立中正大學機械系碩士論文，民國八十八年
[33]施法中，”計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條”，高等教育出版社，2001年
[34]陳志銘，”DSP-Based CNC精密運動控制器及NURBS插值器之設計與實現”，國立交通大學電機與控制工程系碩士論文，民國八十九年
[35]林丕靜，”數值分析”，儒林出版社，2001年
[36]楊憲東，”精密機械控制原理與模擬”，全華科技圖書股份有限公司，1998年9月
[37]http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/