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博碩士論文 etd-0720107-144211 詳細資訊
Title page for etd-0720107-144211
論文名稱 Title |
Helmholtz 方程之顯式級數解 Explicit Series Solutions of Helmholtz Equation |
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系所名稱 Department |
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畢業學年期 Year, semester |
語文別 Language |
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學位類別 Degree |
頁數 Number of pages |
63 |
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研究生 Author |
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指導教授 Advisor |
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召集委員 Convenor |
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口試委員 Advisory Committee |
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口試日期 Date of Exam |
2007-06-29 |
繳交日期 Date of Submission |
2007-07-20 |
關鍵字 Keywords |
邊界近似法 Helmholtz equation, boundary approximation method, Trefftz method, series solutions |
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統計 Statistics |
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中文摘要 |
我們將討論Helmholtz 邊界值問題，其基本的微分方程式為$Delta u+k^2u=0$，並且用邊界近似法(boundary approximation method)也稱之為Trefftz method解此邊界值問題。我們使用變數分離法找出Helmholtz方程式解的形式，並依此推導出任意扇型或半平面型的定義域之Helmholtz方程式顯式級數解。 |
Abstract |
none |
目次 Table of Contents |
Contents 1 Introduction 3 2 Bessel Function 4 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Helmholtz Equation 7 3.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Homogeneous Solutions of Helmholtz Equation 10 4.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.1.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.1.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Particular Solutions of Helmholtz Equation 16 5.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.1.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.1.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Special cases 28 6.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7 The Trefftz Method 34 8 Numerical Experiment I 36 8.1 Experiment A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.2 Experiment B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.3 Experiment C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.4 Experiment D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9 Numerical Experiment II 44 9.1 Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.1.1 Experiment A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.1.2 Experiment B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.1.3 Experiment C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9.1.4 Experiment D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 10 Summary 56 A Directional Derivative 57 A.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.2 Specially Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.3 Rotation and Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 |
參考文獻 References |
References [1] Z.C. Li, H.T. Huang, J.T. Chen, Effective condition number for collocation Trefftz methods, Technical Report, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat- sen University, Kaohsiung, Taiwan, 2005. [2] Z.C. Li, Numerical Methods For Elliptic ProblemsWith Singularities, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1990. [3] Z.C. Li, T.T. Lu, H.Y. Hu and A.H.D. Cheng, Particular solutions of Laplace's equa- tions on polygons and new models involving mild singularities, Eng Anal Bound Elem 29 (2005). [4] Z.C. Li, T.T. Lu, H.S. Tsai, A.H.D. Cheng, The Trefftz methods for solving eigenvalues problems, Engrg. Anal. Boundary Elements, 2006 [5] Z.C. Li, T.T. Lu, H.Y. Hu and A.H.D. Cheng, Trefftz and collocation methods, WIT Press, Southamption, 2006. [6] Z.C. Li, The Trefftz method for the Helmholtz equation with degeneracy, Techni- cal Report, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat-sen University, Taiwan, 2004. |
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