本研究分別以教室俗民誌法、晤談，紙筆測驗等多元方式進行資料蒐集。主要目的是在探討國中一年級學生在學習二元一次聯立方程式的能力發展與其錯誤解題成因，以供教師設計有關此單元及教學策略時之參考。
研究者首先進入高雄市某一市立國中兩班國一教室進行試探性觀察，以避免日後正式觀察時引起同學產生不必要的陌生或好奇。正式觀察則是隨著學校課程進度進行。即先進入班級，進行生態性的適應觀察（國一上學期）－「一元一次方程式」的能力發展與解題的錯誤分析。之後，針對研究單元主題作正式的現場實地觀察（國一下學期）－「二元一次聯立方程式」的能力發展與解題的錯誤分析。
另外，針對國中學生在數學方程式能力發展議題，特地訪問任教於國中數學科之教師，包括觀察班級任教教師、任教於他校之數學教師、以及有架設數學網站的國中數學教師各兩位，共6位數學教師，以便對國中學生在數學方程式能力發展有更進一步瞭解。
除了進行班級觀察、教師訪問外，並同時對所觀察的兩個班級學生進行數次與方程式能力發展有關測驗的施測。針對各項測驗施測結果進行逐題、逐項能力項目的內容分析及統計劃計。最後將觀察結果、教師訪談、及測驗分析結果資料作一統整並互相加以應證。
根據文獻整理，本研究將與二元一次聯立方程式有關之能力分為以下三項：
A. 文字符號：「文字符號的使用（文字敘述與數學式子之轉換）」、「未知數在式子中的含意」、「式子的化簡」、「一元一次方程式的列式與其意義」、「二元一次方程式的列式與聯立方程式的意義」、「一元一次方程式的求解運算與解的意義」、「二元一次聯立方程式的求解運算與解的意義」、「一元一次方程式與二元一次方程式之關聯」、「文字題未知數之假設」、「文字求解運算與解答的意義」…等共十項。
B. 運算原則：「基本運算（加法、乘法交換律；加法、乘法結合律；分配律；提公因數…等）」、「二元一次聯立方程式-代入消去法」、「二元一次聯立方程式-加減消去法」、「正負數與括號的運算」、「等量公理」…等項相關概念。
C. 其他：
所有研究者列出的能力共有16項：A-1「文字符號的使用（文字敘述與數學式子之轉換）」、A-2「未知數在式子中的涵意」、A-3「式子的化簡」、A-4「一元一次方程式的列式與其意義」、A-5「二元一次方程式的列式與聯立方程式的意義」、A-6「一元一次方程式的求解運算與解的意義」、A-7「二元一次聯立方程式的求解運算與解的意義」、A-8「一元一次方程式與二元一次方程式之關聯」、A-9「文字題未知數之假設」、A-10「文字題求解運算與解答的意義」、B-1「基本運算」、B-2-1「二元一次聯立方程式-代入消去法」、能力B-2-2「二元一次聯立方程式-加減消去法」B-3「正負數與括號的運算」、B-4「等量公理」、C、其他。
依據學生測驗分析結果，並與課堂觀察記錄互相對照，對學生們在發展二元一次聯立方程式之各項能力時所產生的解題錯誤加以詳細說明。綜合各項研究資料分析結果，發現大部分學生之二元一次聯立方程式能力在教師授畢該單元時，仍多未達到精熟。此項結果顯示，對學生二元一次聯立方程式的授課時間實需酌量延長，目前的教學時間不足，顯然使學生的學習受到壓迫。最後，研究者並統整各項資料分析結果特繪製一圖，表示與二元一次聯立方程式能力發展有關之各能力項目彼此間的相關情形。
本研究最主要目的乃在於提供教師在學習二元一次聯立方程式時，學生在各項能力所可能產生的解題錯誤及原因，期盼教師在教授二元一次聯立方程式的單元時，能針對學生在學習本單元時所可能產生的迷思，設計出良好課程內容及有效教學策略，使學生們減少不必要的錯誤，將學習變得更容易、也更有趣。

This study used the multiple methods of classroom observation, interview with teachers and students, and paper-and-pencil test to investigate the ability development of seventh-grade students in learning two-dimensional linear systems of equations and the corresponding error analysis. Hopefully, the results of this study can be as a reference for the middle school math teachers to plan the suitable teaching strategies when they teach two-dimensional linear systems of equations to their students.
At the beginning, the researcher entered two seventh-grade classrooms of one middle school in Kaohsiung to make the preliminary observations and let students (also the teachers) to get used to the appearance of the researcher in the classroom during the period that one-variable linear equations were taught. Subsequently, the formal observations were carried out for 40 class periods that two-dimensional linear systems of equations were taught. All the observations made about how teachers taught and how students learned were recorded and content analyzed.
Two paper-and-pencil tests were administered during the period of preliminary observations. And three paper-and pencil tests were given during the period of the formal observations. All the test results were collected and analyzed in numerous ways.
Based on the literature survey and the interviews with six middle school math teachers, all relevant abilities of mastering two-dimensional linear systems of equations were classified into three categories: Character Symbols (10 sub-abilities), Operational Principals (five sub-abilities), and Other Abilities (16 sub-abilities).
Based on the results of the content analyses of classroom observations and the error analyses of five paper-and-pencils tests for each sub-abilities of mastering the subject, it was observed that during the period of developing the abilities on solving two-dimensional linear systems of equations, most students showed some signs of obstacles and puzzles. Even by the end of the course on two-dimensional linear systems of equations, most students still did not master the subject well.
Based on the results of this study, it is proposed that the length of teaching period needs to be increased and more efficient learning strategies need to be introduced to the students when two-dimensional linear systems of equations are taught.

第一章 緒論 1
第一節 研究動機 1
第二節 研究目的 3
第三節 名詞解釋 4
第二章 理論與相關文獻探討 7
第一節 能力發展及錯誤迷思 7
第二節 二元一次聯立方程式的能力發展及其相關研究 17
第三節 二元一次聯立方程式解題的錯誤分析及其相關研究 23
第三章 研究設計與實施 33
第一節 研究對象 33
第二節 研究工具 33
第三節 研究設計與方法 38
第四節 研究倫理與限制 40
第四章 結果與討論 41
第一節 五份測驗試卷資料分析VS教室觀察 41
第二節 觀察心得 98
第五章 結論與建議 104
第一節 研究結論 104
第二節 研究建議 112
參考文獻 113
附錄 118
附錄一 方程式測驗（一）試題 119
附錄二 方程式測驗（二）試題 120
附錄三 方程式測驗（1-1）試題 121
附錄四 方程式測驗（1-2）試題 122
附錄五 方程式測驗（1）試題 123
附錄六 教室觀察記錄一覽表（範例） 124

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