本文針對民國89至105年之國立台灣大學微積分統一教學上學期期中考試題進行整理，主要討論單變數微分及其應用，並以Larson and Edwards(2013)整理成三個主題：極限、微分、微分的應用。
在各個主題中除了介紹考題中出現的名詞的定義之外，同時介紹相關的定理與性質來幫助解題，整理出常見的考題與其應用到的觀念，之後附上例子來說明以幫助了解，並在每章的最後一節附上歷年的分類試題以供讀者深入探討與練習。

This study investigates all problems of the midterm exams of the fall semester
of unified teaching of calculus at National Taiwan University from 2000 to 2016.
These problems according to Larson and Edwards (2013) are classified as three topics
including: Limits, Differentiation, and Applications of Differentiation. Each topics
begins with the important definitions and theorems for problem solving, followed
by several neat examples chosen to illustrate the applications of theorems and the
range of topics and difficulty. All the classified exam problems are included in the
last section of each topic for further study and practice.

論文審定書 i
誌謝 ii
摘要 iii
Abstract iv
表次 ix
圖次 x
第一章 前言Ž 1
第二章 極限及其性質 4
2.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2.1.1 極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 單側極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .6
2.1.3 極限不存在的情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . 9
2.2 以解析的方法處理極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 極限的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 求極限的策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 有理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12
2.2.4 夾擠定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2.5 特殊的三角函數極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.6 羅必達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.7 泰勒和馬克勞林多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.2.8 黎曼和與定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.3 連續. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .20
2.3.1 在一點和在一開區間上的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.3.2 閉區間的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 連續的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 中間值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.4.2 在無窮遠處的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.4.3 在無窮遠處的無窮大極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.5.1 極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.2 單側極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.5.3 有理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.5.4 夾擠定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.5 基本的與特殊的三角函數的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.6 羅必達規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.5.7 泰勒級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2.5.8 黎曼和與定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.9 中間值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.10 在無窮遠處的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第三章 微分 38
3.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 導數和切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 切線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
3.2.2 函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 可微與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .44
3.3 基本微分規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 常數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .47
3.3.2 指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 倍數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.4 和差規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.5 正弦和餘弦函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 積和商的規則及高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1 積的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2 商的規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.3 高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 廣義指數規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.3 三角函數的連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.6 超越函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.6.1 自然指數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 自然對數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.1 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
3.7.2 反三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
3.8 微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 57
3.8.1 微積分基本第二基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9.1 隱函數和顯函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..58
3.9.2 隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.10 相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10.1 求相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.10.2 以相關變率解題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.11 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.11.1 切線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 63
3.11.2 函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11.3 可微與連續 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.11.4 正弦和餘弦函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.5 高階導數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.6 連鎖規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11.7 自然指數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.11.8 自然對數函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.11.9 反函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
3.11.10反三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
3.11.11微積分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3.11.12隱微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.11.13相關變率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
第四章 微分的應用 84
4.1 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
4.2  區間上的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..85
4.2.1 函數的極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 85
4.2.2 相對極值和臨界數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
4.2.3 在閉區間上求極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 洛爾定理和均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1 洛爾定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 函數的遞增、遞減和一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.1 遞增函數和遞減函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.2 一階導數檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 凹性和二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.5.1 凹性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.2 反曲點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.5.3 二階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .93
4.6 漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.1 垂直漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..95
4.6.2 水平漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.3 斜漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7 畫圖提要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
4.7.1 分析函數圖形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 99
4.8 最佳化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8.1 極大極小的應用問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
4.9 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.9.1 切線近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.10 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.10.1 相對極值和臨界數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.10.2 在閉區間上求極值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.10.3 洛爾定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.10.4 均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.10.5 遞增函數和遞減函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
4.10.6 一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.10.7 漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
4.10.8 畫圖提要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.10.9 最佳化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
4.10.10切線近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
參考文獻 141
索引 142
表次
1.1 台灣大學微積分統一教學年度、班別試題分類統計表 . . . . . . . . . . . .2
圖次
2.1 泰勒多項式餘項。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 函數圖形在 x=c 時，三種不連續的情形。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 可以移除的不連續點。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 閉區間上的連續函數。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 無窮極限。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24
3.1 當 x 趨近 c 時，割線會趨近切線。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.2 常數規則其實就是說水平直線的斜率是 0，斜率與導數的關聯正是如此。. . 47
4.1 一階導數檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Hohenwarter, M., Borcherds, M., Ancsin, G., Bencze, B., Blossier, M., Delobelle,
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